Adelina Marchelia-201731243-STTPLN: Relasi dan Fungsi

Dalam masalah yang berhubungan dengan elemen-elemen diskrit, sering dijumpai adanya hubungan/relasi di antara objek-objek tersebut. Dalam kehidupan sehari-hari pun, relasi di antara objek-objek tersebut. Dalam kehidupan sehari-hari pun, relasi di antara objek-objek sering dibuat. Beberapa contoh antara lain :

· Diantara kelompok mahasiswa, mungkin kita mengatakan bahwa 2 mahasiswa berelasi (saudara), jika nama keluarga mereka sama. Dalam situasi lain mungkin kita menyatakan bahwa 2 mahasiswa berelasi bila mereka mempunyai jenis kelamin yang sama.

· Dalam himpunan program komputer, mungkin didefinisikan bahwa 2 program berelasi jika keduanya mengakases data yang sama atau menghasilkan keluaran yang sama.

Relasi-relasi tersebut biasanya dibuat untuk kepentingan-kepentingan khusus. Dalam ilmu komputer, konsep relasi banyak sekali dipakai dalam Basis Data (Database) untuk menggambarkan hubungan-hubungan yang ada diantara data-data. Dalam blog kali ini akan dipelajari tentang relasi yang ada diantara objek-objek dan sifat-sifatnya. Juga tentang fungsi.

Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI) dapat diartikan relasi sebagai hubungan , perhubungan , pertalian, atau pelayanan. Sedangkan dalam matematika, Pengertian dari relasi yaitu himpunan bagian antara A(domain) dan B (kodomain) atau relasi yang memasangkan setiap elemen yang ada pada himpunan A secara tunggal, dengan elemen yang pada B. Relasi antara himpunan A dan B disebut relasi biner.

R ⊆ (A x B)

Jika (a,b) ∈ R, kita gunakan notasi a R b yang artinya a dihubungkan dengan b oleh R, dan jika (a,b) ∉ r, kita gunakan notasi a R b yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R. Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range atau kodomain) dari R.

Perkalian Kartesian (Cartesian Product)

Contoh:

1. Misalkan C={1,2,3} dan D={a,b},maka C x D = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,c)}

2. Misalkan A=B=semua bilangan riil, maka A x B = himpunan semua titik di bidang datar.

3. Misal P = {2,4,8,9,15}, B = {2,3,4}. Relasi R dari P ke Q didefinisikan sebagai: (p,q) ∈ R jika p habis dibagi q, maka: R = {(2,2), (4,2), (8,2), (9,3), (15,3), (4,4), (8,4)}

4. Misal R adalah relasi pada A = {2,3,4,8,9} yang didefinisikan oleh (x,y) ∈R jika x adalah factor prima dari y, maka: R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,3), (3,9)}

REPRESENTASI RELASI

1. TABEL

Jika relasi disajikan dengan table maka kolom pertama menyatakan daerah asal dan

kolom kedua menyatakan daerah hasil.

Contoh : untuk relasi pada contoh diatas no.2 dan 3

Tabel 1

P	Q
2	2
4	2
4	4
8	2
8	4
9	3
15	3

Tabel 2

P	Q
2	2
2	4
2	8
3	3
3	9

2. MATRIKS

Misal R adalah relasi dari A = {a1,a2, …, am} ke B = {b1,b2,…,bn}. Relasi R dapat

disajikan dengan matriks M = [mij].

3. Graf berarah.

Representasi relasi dengan graf berarah adalah merupakan representasi relasi

secara grafis. Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik ( simpul,

vertex) dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur. Dengan kata lain jika

(a,b) ∈ R maka dibuat busur dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal

dan simpul b disebut simpul tujuan.

SIFAT – SIFAT RELASI BINER

1. REFLEKSIF

Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a) ∈ R untuk setiap a∈A.

Contoh: Misal A = {1,2,3,4} dan relasi R dibawah ini didefinisikan pada A, maka

a. R = {(1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (3,3),(4,2), (4,3),(4,4)} bersifat refleksif.

b. R = {(1.1),(2,2),(2,3),(4,2),(4,3),(4,4)} bukan relasi refleksif karena (3,3)∉R.

2. SIMETRIS

Relasi R pada himpunan A disebut simetris jika (a,b) ∈ R maka (b,a)∈R untuk setiap

a,b∈A.

Contoh:

R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)}

3. TRANSITIF

Relasi R pada himpunan A disebut Transitif jika (a,b) ∈ R dan (b,c)∈R maka (a,c)∈R

untuk setiap a,b,c∈A.

Contoh:

a. R = {(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}

b. Relasi habis dibagi pada bilangan bulat positif.

4. ANTI SIMETRIS

Suatu relasi R disebut relasi anti simetrik jika (a,b) ∈R dan (b,a) ∈R maka a=b. Dengan kata lain Jika a, b A, a≠b, maka (a,b)R atau (b,a)R, tetapi tidak kedua-duanya.

Contoh :

Diberikan himpunan C = {2,4,5}. Didefinisikan relasi R pada himpunan C dengan R = {(a,b) € a kelipatan b, ab € C} sehingga diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R tersebut bersifat antisimetris.

Relasi Kesetaraan

Contoh memperlihatkan bahwa sebuah relasi dapat memiliki beberapa sifat sekaligus. Jika sebuah relasi mempunyai beberapa sifat setangkup, refleksif, dan menghantar sekaligus, maka relasi tersebut dinamakan relasi kesetaraan ( equivalence relation).

Definisi: Relasi pada himpunan disebut relasi kesetaraan (equivalence relation) jika ia refleksif, simetris dan transitive.

Contoh:

A={1,2,3}

R={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}

Refleksif={(1,1),(2,2),(3,3)}

Transitive={(1,2),(2,1),(1,1),(2,3),(3,2),(2,2),(3,1),(3,2),(1,3),(3,3)}

Simetris={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)}

Relasi Pengurutan Parsial

Definisi :Relasi R pada himpunan S dikatakan relasi pengurutan parsial jika ia refleksif, antisimetris , dan transitive. Himpunan S bersama-sama dengan relasi R disebut himpunan terurut sacara parsial, dan dilambangkan dengan (S, R).

Contoh:

A={1,2,3}

R={(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(2,1)}

Refleksif={(1,1),(2,2),(3,3)}

Transitive={(2,3),(3,1),(2,1)}

Antisimetris={(2,3),(3,1),(2,1)}

FUNGSI

Definisi:

Misal f adalah relasi dari A ke B. f disebut fungsi jika untuk setiap anggota A direlasikan dengan tepat satu anggota B.

Contoh:

Misal A = {1,2,3}, B = {u,v,w}

1. f = {(1,u),(2,v),(3,w)} adalah fungsi

2. f = {(1,u),(2,u),(3,w)} adalah fungsi.

Relasi biner f dari A ke b merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah fungsi dari A ke B menuliskan f: A →B yang artinya f memetakan A ke B. A disebut daerah asal (domain) dan f dan B disebut daerah hasil (kodomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi. Kita menuliskan f(a)=b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B. Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a ke a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b. Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B

Macam-Macam Fungsi