Himpunan

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhubungan dengan kalimat-kalimat, "Mahasiswa dalam kelas G adalah jurusan Teknik Informatika semester kedua." ; "Bunga-bunga yang dijual di toko bunga adalah bunga hidup", dll. Hal yang dibicarakan dalam kalimat tersebut merupakan sesuatu yang spesifik. Dalam blog kali ini saya akan membahas tentang konsep dan materi himpunan.

1. Pengertian Himpunan

Himpunan didefinisikan sebagai suatu kumpulan objek-objek yang jelas dan berbeda yang menjadi satu kesatuan karna memiliki karakteristik yang sama. Objek-objek tersebut disebut elemen atau anggota dari himpunan tersebut. Himpunan biasanya dinotasikan dalam huruf-huruf besar seperti A,B,C,Z, ...; sedangkan elemen dari himpunan tersebut dinotasikan dalam huruf kecil seperti a, b, c, d, z. 

Keanggotaan dalam suatu himpunan dinotasikan sebagai berikut :

a  ∈ S menyatakan bahwa a merupakan bagian dari himpunan S.

a,b ∈ S menyatakan bahwa a,b merupakan bagian dari himpunan S.

Dari sini simbol  ∈ memiliki arti “elemen dari.” Kita menggunakan  untuk menyatakan “bukan elemen dari.”

2. Cara-Cara Penulisan Himpunan

Ada empat cara atau metode untuk menyatakan (menuliskan) suatu himpunan, yaitu:

1.      Enumerasi ( Tabulasi Form )

Jika sebuah himpunan terbatas dan tidak terlalu besar, kita bisa menyajikan himpunan dengan cara mengenumerasikan, artinya menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal. Biasanya suatu himpunan diberi nama dengan huruf kapital maupun dengan menggunakan simbol-simbol yang lainnya.

Contoh :

Himpunan A yang berisi enam bilangan ganjil positif pertama adalah, A={1,3,5,7,9,11}.

Perhatikan bahwa himpunan ditentukan oleh anggota-anggotanya dan bukan pada urutan anggota-anggotanya. Urutan anggota di dalam himpunan tidak mempunyai arti apa-apa. Jadi kita bisa saja menuliskan A sebagai A={3,1,7,5,9,11} atau A={1,5,3,9,7,11}. Karena itu beberapa literatur menambahkan definisi himpunan sebagai kumpulan objek tak terurut.

2.      Simbol-simbol Baku

Beberapa himpunan yang khusus dituliskan dengan simbol-simbol yang sudah baku. Terdapat sejumlah simbol  baku yang berbentuk huruf tebal yang biasa digunakan untuk mendefiniskan himpunan yang sering digunakan, antara lain:

N = Himpunan dari bilamgan-bilangan asli  ={1,2,3,4, ...}

Z = Himpunan dari semua bilangan bulat ={ ... , -2,-1,0,1,2, ...}

Q = Himpunan dari bilangan-bilangan rasional.

R = Himpunan dari bilangan-bilangan riil

C = Himpunan dari bilangan-bilangan kompleks

P = Himpunan dari bilangan bulat positif = {1,2,3,...}

Kadang-kadang kita berhubungan dengan himpunan-himpunan yang semuanya merupakan bagian dari sebuah himpunan yang universal. Himpunan yang universal ini disebut semesta dan disimbolkan dengan U. Himpunan U harus diberikan secara eksplisit atau diarahkan berdasarkan pembicaraan. Sebagai contoh, misalnya U = {1,2,3,4,5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1,3,5}.

3.      Notasi Pembentuk Himpunan

Cara lain menyajikan himpunan adalah dengan notasi pembentuk himpunan (set buillder). Dengan cara penyajian ini, himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya.

Notasi : { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x}

Aturan yang digunakan dalam penulisan syarat keanggotaan:

a.       Bagian di kiri tanda “|” melambangkan elemen himpunan.

b.      Tanda “|” dibaca dimana atau sedemikian sehingga.

c.       Bagian di kanan tanda “|” menunjukkan syarat keanggotaan himpunan.

d.      Setiap tanda “|”, di dalam syarat keanggotaan dibaca dan.

Contoh :

A adalah himpunan bilangan positif yang kecil dari 5, dinyatakan sebagai

     A = { x | x adalah himpunan bilangan bulat positif, lebih kecil dari 5}

Atau dalam notasi yang lebih ringkas:

A = { x | x ∈ P, x<5 }

Yang sama dengan  A = {1,2,3,4}.

4.      Diagram Venn

Diagram venn menyajikan himpunan secara grafis. Cara penyajian himpunan ini diperkenalkan oleh matematikawan Inggris yang bernama Jhon Venn pada tahun 1881. Di dalam diagram venn, himpunan semesta (U) digambarkan sebagai suatu segi empat sedangkan himpunan lainnya digambarkan sebagai lingkaran di dalam segi empat tersebut. Anggota-anggota suatu himpunan berada di dalam lingkaran yang lain pula. Ada kemungkinan dua himpunan mempunyai anggota yang sama, dan hal ini digambarkan dengan lingkaran yang saling beririsan. Anggota U yang tidak termasuk di dalam himpunan manapun digambarkan diluar lingkaran.

Contoh:

Di antara 100 siswa, 32 orang suka PKn, 20 orang suka IPS, 45 orang suka IPA, 15 orang suka PKn dan IPA, 7 orang suka PKn dan IPS, 10 orang suka IPS dan IPA, 30 orang tidak suka satu pun di antara ketiga mata pelajaran tersebut. a) Hitung banyaknya siswa yang suka ketiga mata pelajaran tersebut; b) Hitung banyaknya siswa yang hanya suka satu dari ketiga matsa pelajaran tersebut; dan c) Gambarkan dengan Diagram Venn !

Penyelesaian:

Misalkan yang mengikuti ketiga mata pelajaran tersebut adalah x maka yang suka:

PKn dan IPA saja = 15-x

IPA dan IPS saja = 10-x

PKn  dan IPS saja = 7-x

PKn saja = 32 –(15-x)-(7-x)-x = 10+x

IPA saja = 45 –(15-x)-(10-x)-x = 20+x

IPS saja = 20 –(10-x)-(7-x)-x = 3+x

a) Unuk mencari jumlah siswa yang suka ketiga mata pelajaran tersebut, dengan mencari nilai x, caranya sebagai berikut:

100 – 30 = (3+x)+(20+x)+(10+x)+(7-x )+(10-x)+(15-x) + (x)

70 = 65 + x

x = 5

Jadi jumlah siswa yang suka ketiga mata pelajaran tersebut adalah 5 orang.

b) Unuk mencari jumlah siswa yang hanya suka satu dari ketiga mata pelajaran tersebut, caranya sebagai berikut:

PKn saja = 10+x = 10 + 5 = 15

IPA saja = 20+x = 20 + 5 = 25

IPS saja = 3+x = 3 + 5 = 8

Jumlah semua siswa yang hanya suka satu dari ketiga mata pelajaran = 15 + 25 + 8 = 48

Jadi, jumlah siswa yang hanya suka satu dari ketiga mata pelajaran tersebut adalah 48 orang.

c) Dengan memasukan nilai x maka diperoleh gambar Diagram Vennnya seperti gambar dibawah ini:

5.      Macam-macam Himpunan

Macam-macam  HIMPUNAN dalam Matematika adalah :

1.Himpunan berhingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung. 
Contohnya D = {bilangan genap kurang dari 10} atau A = {2,4,6,8}. 
Himpunan D jumlah angotanya dapat dihitung yaitu sebanyak 4 buah. 

2. Himpunan tak hingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak hingga. Contohnya: A= {bilangan genap}, B= {bilangan ganjil} 

3.Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan kosong dilambangkan dengan tanda {}. 
Contohnya B = {bilangan genap antara 2 dan 4}. ditulis B={}={0}.

4.Himpunan ekuivalen/himpunan sama adalah himpunan yang anggotanya sama
   contohnya A= {b,c,d} B={d,c,b} A=B

5.Himpunan semesta adalah himpunan dari semua unsur yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta juga disebut himpunan uiversal dan ditulis dengan huruf S.
contohnya:A = {1,3,5,7,9}
himpunan semestanya berupa:
S = {bilangan asli}
S = {bilangan cacah} 
S = {bilangan ganjil kurang dari 10}

6.Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari nol dan seterusnya contoh K = {0,1,2,3,4,5} 

7.Himpunan bagian adalah apabila setiap unsur dalam himpunan B termasuk juga anggota A, maka B merupakan bagian dari himpunan A. contohnya B = {a,c,e} A = {a,b,c,d,e} 
jadi B bagian dari A.Anggota himpunan n adalah suatu unsur dari suatu himpunan. Contohnya : A = (a,b,c,d,e} maka a elemen A

8.Himpunan lepas adalah sesuatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan lain. ContohnyaA = {d,e,f} B = {g,h,i} maka himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A//B bukan anggota himpunan adalah unsur ini tidak termasuk dalam himpunan tersebut contohnya A = {a,b,c,d} e bukan anggota himpunan A.


9.Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari bilangan satu dan seterusnya.Contohnya D = {1,2,3,4,...}

10. Himpunan bilangan genap adalah himpunan yang anggotanya dimulai dari angka dua dan selalu genap atau habis dibagi dua contohnya G = {2,4,6,8,10}

11.Himpunan bilangan ganjil adalah himpunan yang anggota bilanganya tidak habis dibagi dua .contohnya K = {1,3,5,7}  

12.Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan yang anggotanya semua bilangan yang memiliki dua faktor contohnya Y = {2,3,,5,7} 

13. Himpunan kuadrat bilangan cacah adalah himpunan bilangan cacah yang anggotanya dipangkatkan dua.Contohnya Y = {0^2,1^2,3^2)

6.      Kardinalitas

Definisi : Sebuah himpunan dikatakan berhingga (finite set) jika terdapat n elemen berbeda (distinct) yang dalam hal ini n adalah bilangan bulat tak-negatif. Sebaliknya himpunan tersebut dinamakan tak-berhinggga (infinite set)

Misalkan A merupakan himpunan berhingga, maka jumlah elemen berbeda di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.

Notasi: n(A) atau |A|

Contoh:

Dibawah ini adalah contoh-contoh himpunan berhingga:

1.      A= { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 }, maka |A| = 8, dengan elemen-elemen A adalah 2,3,5,7,11,13,17,19.

2.      B = { kucing, a , Amir, 10, paku }, maka |B| = 5, dengan elemen-elemen dari B (yang berbeda) adalah kucing, a, Amir, 10, paku.

3.      C = {a,{a},{{a}} }, maka |C|=3, dengan elemen-elemen C (yang berbeda) adalah a,{a},{{a}}

4.      F = { x | x adalah kucing di Bandung }, ini juga adalah himpunan berhingga, meskipun kita sangat sulit menghitung jumlah kucing di Bandung, tetapi ada jumlah tertentu yang berhingga di Bandung.

Himpunan yang tak berhingga mempunyai kardinal tidak berhingga pula. Sebagai contoh, himpunan bilangan riil mempunyai jumlah anggota tidak berhingga, maka |R|= ∞,begitu juga himpunan bilangan bular tak negatif, himpunan garis yang melalui titik pusat koordinat, himpunan titik di sepanjang garis y=2x+3, dan lain-lain.