INDUKSI MATEMATIKA

Dalam matematika, sebuah proposisi atau pernyataan tidak hanya sekedar ditulis. Kita juga harus mengerti apa yang menyebabkan proposisi tersebut benar, yaitu bukti (proof). Dalam blog kali ini memfokuskan pembuktian proposisi yang hanya menyangkut bilangan bulat, misalnya pembuktian pernyataan “Jumlah n buah bilangan bulat positif pertama adalah n(n +1)/2”. Metode pembuktin untuk proposisi perihal bilangan bulat adalah Induksi Matematika. Lebih tepatnya Induksi Matematika adalah metode pembuktian untuk proposisi perihal bilangan bulat. Induksi matematika merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika. Induksi matematika dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas. Melalui induksi matematika kita dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas.

Proposisi Perihal Bilangan Bulat

Proposisi yang menyangkut perihal bilangan bulat cukup banyak ddijumpai di dalam matematika diskret maupun dalam ilmu komputer. Proposisi terbesar mengaitkan suatu masalah yang dihubungkan dengan bilangan bulat. Untuk memberi ilustri mengenai proposisi seperti apa yang dimaksudkan, mari tinjau dua contoh propsisi sederhana berikut

Didalam matematika banyak teorema yang menyatakan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n , yang dalam hal ini p(n) disebut juga fungsi proposisi. Contoh pertama, misalkan p(n) adalah proposisi yang menyatakan: “Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n+1)/2”. Buktikan bahwa p(n) benar!

Kalau kita coba dengan nilai n, memang timbul dugaan bahwa p(n) benar. Misalnya untuk n=5, p(5) adalah: jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai 5 adalah 5(5+1)/2. Terlihat bahwa 1+2+3+4+5=15=5(6)/2

Untuk nilai-nilai n yang lain kita akan dapatkan kesimpulan serupa. Sayangnya,instansiasi seperti p(5) tidak dapat berlaku sebagai bukti bahwa p(n) benar untuk seluruh n. Kita memang sudah menunjukkan bahwa n=5 berada di dalam sebuah himpunan kebenaran p(n). Tetapi kita tahu bahwa 5 bukanlah satu-satunya bilangan bulat positif. Karena bilangan bulat positif. Karena bilangan bulat positif tak terhingga banyaknya, kita tidak dapat menggunakan pendekatan semacam ini untuk membuktikan kebenaran perihal pernyataan bilangan bulat.

Contoh kedua, kita ingin menemukan rumus jumlah dari n buah bilangan ganjil positif yang pertama. Misalnya untuk n=1,2,3,4,5, kita mengamati jumlah n bilangan ganjil positif pertama adalah

n=1→1=1

n=2→1+3=4

n=3→1+3+5=9

n=4→1+3+5+7=16

n=5→1+3+5+7+9=25

Dari nilai-nilai penjumlahan itu kita menduga bahwa jumlah n buah bilangan bulat ganjil positif pertama adalah n². Kita perlu membuktikan bahwa perkiraan kita tersebut benar jika memang itu faktanya. Bagaimana cara membuktikannya dengan induksi matematik?

Contoh-contoh proposisi perihal bilangan bulat yang lainnya misalnya:

1.      Setiap bilangan bulat positif n (n≤2) dapat dinyatakan sebagai perkallian dari (satu atau lebih) bilangan prima.

2.      Untuk semua n≥1, n³+2n adalah kelipatan 3

3.      Untuk membayar biaya pos sebesar n sen dolar (n≥ 8) selalu dapat digunakan hanya perangko 3 sen dan 5 sen

4.      Di dalam sebuah pesta, jika tamu berjabat tangan dengan tamu lainnya hanya sekalli. Jika ada n orang tamu maka jumlah jabat tangan yang terjadi adalah n(n-1)-2

5.      Banyaknya himpunan bagian yang dapat dibentuk dari sebuah himpunan yang beranggotakan n elemen adalah 2ⁿ.

Proposisi-proposisi semacam diataslah yang dapat dibuktikan dengan induksi matematika. Mari kita pahami cara pembuktian dengan induksi matematika, dimulai dengan prinsip induksi sederhana terlebih dahulu, seperti yang dijelaskan dalam blog berikut:

PRINSIP INDUKSI SEDERHANA

Prinsip induksi sederhana berbunyi sebagai berikut:

Misalkan p(n) adalah proposisi perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bullat positif n. Untuk membuktikan proposisi ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:

1.      p(1) benar

2.      jika p(n) benar, maka p(n+1) juga benar untuk setiap n≥1.

Sehingga p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif  n.

Langkah 1 dinamakan basis induksi, sedangkan langkah 2 dinamakan langkah induksi. Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi,. Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Basis induksi digunakan untuk memperlihatkan bahwa pernyataan tersebut benar bila n diganti dengan 1, yang merupakan bilangan bulat positif terkecil. Kemudian kita harus memperlihatkan bahwa implikasi p(n) →p(n+1) benar untuk setiap bilangan bulat positif. Untuk membuktikan implikasi tersebut benar untuk sebuah bilangan bulat positif n, kita perlu menunjukkan bahwa p(n+1) tidak mungkin salah bila p(n) benar. Hal ini diselesaikan dengan cara memperlihatkan bahwa berdasarkan hipotesis p(n) benar maka p(n+1) juga harus benar. Perhatikan bahwa dalam induksi matematika kita tidak mengasumsikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif. Kita hanya memperlihatkan bahwa jika diasumsikan p(n) benar, maka p(n+1) juga benar untuk setiap n positif.

Fakta bahwa langkah 1 dan langkah 2 bersama-sama memperlihatkan p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif adalah jelas secara intuitif. Dari langkah 1, kita mengetahui bahwa p(1) benar. Dari langkah 2 kita mengetahui bahwa jika p(1) benar maka p(2) juga benar. Tetapi, p(1) sudah ditunjukkan benar dan disini p(2) juga harus benar. Dari langkah 2 ini kita juga mengetahui bahwa jika p(2) benar maka p(3) juga benar. Karna kita sudah menunjukkan p(2) benar, maka p(3) juga benar, dan seterusnya. Secara intuitif kita melihat bahwa langkah 1 dan langkah 2 bersama-sama memperlihatkan bahwa p(1), p(2), p(3),..., p(n) semuanya benar.

Contoh berikut memperlihatkan pembuktian proposisi perihal bilangan bulat dengan menggunakan prinsip induksi sederhana.

1.      Tunjukkan bahwa untuk n≥1, 1,+2+3+...+n=n(n+1)/2 melalui induksi matematika.

Penyelesaian:

Andaikan bahwa p(n) menyatakan proposisi bahwa untuk n≥1, jumlah n bilangan bulat positif pertama  adalah n=n(n+1)/2. Kita harus membuktikan kebenaran proposisi ini dengan dua langkah induksi sebagai berikut:

                    i.            Basis induksi: p(1) benar, karena untuk n=1 kita peroleh

1=1(1+1)/2

 = 1(2)/2

  =2/2

  =1

                  ii.            Langkah induksi: misalkan p(n) benar, yaitu mengasumsikan bahwa

1+2+3+...+n=n(n+1)/2

Adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus memperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar yaitu

1+2+3+...+n+(n+i)=(n+1)[(n+1)+1]/2

Untuk membuktikan ini, tunjukkan bahwa

1+2+3+...+n+(n+i)=( 1+2+3+...+n)+(n+1)

                                = [(n+1)+1]/2+(n+1)

                                = [n+1)/2] + (n+1]

                                = [(n²+n)/2 ] + [2n+2/2]

                                = (n²+3n+2)/2

                                = (n+1) (n+2)/2

                                = (n+1) [(n+1)+1]/2

Karena langkah (i) dan (ii) telah dibuktikan benar , maka untuk semua bilangan bulat positif n , telah dibuktikan bahwa semua n ≥ 1, 1 + 2 + 3 + ... + n = n ( n + 1 )/2 .

2.      Gunakan induksi matematka untuk membuktikan bahwa jumlah n bilangan ganjil positif pertama adalah n² .

Penyelesaian :

Misalkan p(n) adalah proposisi yang menyatakan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n².

i.                    Basis induksi : p(1) benar , karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1² = 1 .

ii.                  Langkah induksi  : misalkan p(n) benar , y itu asumsikan bahwa

1 + 3 + 5 ... + ( 2n – 1 ) = n²

Adalah benar ( hipotesis induksi) [ catatlah bahwa bilangan positif ke n adalah  ( 2n-1)].

Kita harus memperlihatkan p(n+1) juga benar , yaitu

 1 + 3 + 5 ... + ( 2n – 1 )(2n + 1)  = (n+1)²

Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut

 1 + 3 + 5 ... + ( 2n – 1 )(2n + 1)  =[ 1 + 3 + 5 ... + ( 2n – 1) ] +( 2n + 1)

                                                                                           = n²+( 2n + 1)

                                                            = n²+2n + 1

                                                           = ( n+1)²

Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkan benar , maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n²

 PRINSIP INDUKSI YANG DIRAMPATKAN

Kadang-kadang kita ingin membuktikan bahwa pernyataan p(n) benar untuk semua bilangan bulat ≥n₀ , jadi tidak hanya bilangan bulat yang dimulai dari 1 saja. Prinsip induksi sederhana dapat dirampatkan (generalized) untuk menunjukkan hal ini sebagai berikut:

Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n≥n₀ . Untuk membuktikan ini kita hanya perlu menujukkan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:

1.      p(n₀) benar

2.      jika p(n) benar maka p(n+1) benar untuk setiap n≥n₀

sehingga p(n) benar untuk semua bilangan bulat n≥n₀.

Contoh:

Untuk semua bilangan bulat tidak negatif n, buktikan dengan induksi matematika bahwa 2⁰+2¹+2²+2³+...+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1

Penyelesaian:

Misalkan p(n) adalah proposisi bahwa untuk semua bilangan bulat tidak negatif n, 2⁰+2¹+2²+2³+...+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1

(i)                 Basis Induksi: p(0) benar, karena untuk n=0 (bilangan bulat tidak negatif pertama) kita peroleh:

2⁰=1=2⁰⁺¹-1

         = 2¹-1

         = 2-1

         = 1

(ii)              Langkah induksi: misalkan p(n) benar, yaitu proposisi

              

    2⁰+2¹+2²+2³+...+2ⁿ+2ⁿ⁺¹ =2n^(n+1)+1-1

        hal ini kita tunjukkan sebagai berikut:

    2⁰+2¹+2²+2³+...+2ⁿ+2ⁿ⁺¹=(2⁰+2¹+2²+2³+...+2ⁿ)+2^n-1

                                           =(2ⁿ⁺¹-1)+2ⁿ⁺¹

                                           =(2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹)-1

                                           =(2¹.2ⁿ⁺¹)-1

                                           =2ⁿ⁺²-1

                                           =2^(n+1)+1-1

Karena langkah 1 dan 2 keduanya telah diperlihatkan benar, maka untuk semua bilangan bulat tidak negatif n , terbukti bahwa 2⁰+2¹+2²+2³+...+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1